ד''ר גלילי החל את לימודי הרפואה בפקולטה לרפואה בטכניון במסגרת העתודה האקדמית ועם סיום לימודיו שירת כרופא צבאי קרבי בחטיבת הנח"ל. לאחר השרות הצבאי התמחה בכירורגיה כללית בבית החולים בני ציון בחיפה ובהמשך בכירורגית כלי דם בבית החולים כרמל בחיפה. במהלך התמחותו שילב שנתיים של עבודת מחקר מדעית בנושא מחלות כלי דם ב - Mayo Clinic Rochester, Minnesota, USA.
לאחר סיום התמחותו בכירורגית כלי דם המשיך ד''ר גלילי לעבוד ככירורג בבית החולים כרמל ובמקביל הקים את השרות לכירורגית כלי דם בבית החולים פוריה, טבריה. מיומנותו הגבוהה הן בכירורגיה כלי דם "קלאסית" והן בצנתורי כלי דם הביאו למהפך בשירות כירורגית כלי דם בבית החולים פוריה ובהמשך לניהול המחלקה לכירורגית כלי דם בבית החולים הלל יפה, חדרה אותה ניהל במשך ארבע שנים עד לניהול המחלקה לכירורגית כלי דם בכרמל.
ד''ר גלילי שייך לדור החדש של כירורגים לכלי דם השולט הן בכירורגיה והן בצנתורים של כלי הדם והוא חתום על פרסומים מדעיים רבים בתחום המחקר הבסיסי והקליני של מחלות כלי-דם, הן בתחום הכירורגי והן בתחום הצנתורים של כלי הדם.
